Novas geometrias

O Elementos de Euclides começa com cinco "postulados". Quatro são simples, mas o quinto é diferente em estilo, assemelhando-se a um teorema que deveria ser demonstrável a partir dos outros: se uma linha atravessa duas outras linhas e, se a soma dos ângulos internos, do mesmo lado, é inferior a 180°, então estas linhas, se prolongadas indefinidamente, devem encontrar-se. Este resultado é equivalente ao postulado das paralelas: dada qualquer linha reta L e qualquer ponto P não assente em L, existe uma linha reta através de p que é paralela a L.

Durante mais de dois mil anos os matemáticos tentaram deduzir estes resultados a partir dos quatro primeiros postulados, mas foram incapazes de fazê-lo. Isto ocorre porque existem “geometrias" que satisfazem os quatro primeiros postulados, mas não o quinto; tais geometrias têm um número infinito de linhas através de p que são paralelas a L.

A descoberta da existência de tais geometrias não-euclidianas foi feita no século XIX pelo matemático russo Nikolai Lobachevsky (1792-1856) e pelo húngaro János Bolyai (1802-1860). Quando o pai de Bolyai delineou a obra de János ao seu amigo Gauss, este último menorizou-a afirmando que era algo que ele tinha descoberto anteriormente, mas nunca publicado; Bolyai nunca perdoou Gauss por isso. Nenhum destes matemáticos ganhou amplo reconhecimento pelos seus esforços antes da sua morte.

Outro objeto geométrico interessante é a fita de Möbius ou banda de Möbius, em homenagem ao matemático e astrónomo alemão August Möbius (1790-1868), que a descobriu em 1858. A fita tem apenas um lado e uma extremidade. Para construir uma, pegue numa faixa retangular de papel, torça uma ponta 180°, e em seguida, cole as pontas.

[Brasil 1967; Hungria 1960, 2002; União Soviética 1951]


Publicado/editado: 25/04/2015